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今月の進級者発表![2018/10]

今月は2人の生徒(うち1人は国語と算数両方)が進級することができました!

2人とも、算数は学校の範囲を追い越して、手こずりながら進めています。
毎回苦戦しながらも、頑張って取り組んでいるので、進級してくれて嬉しいです^^

ちょっと前まであんな苦戦してたのに…
いつの間にそんなスラスラ解けるようになったん!?と驚かされてばかりです。

megafepsdaで覚えるのはやめよう

動詞の目的語として

  • 不定詞だけを取れるもの
  • 動名詞だけを取れるもの
  • 不定詞と動名詞の両方を取れるもの

があります。私は高校1年生の頃「メガフェプスダ(megafepsda)はing」と習いました。不定詞の方も覚え方があった気がするのですが、今となっては忘れてしまいました。

megafepsdaの方も、1文字1文字が動詞の頭文字を表しているのは覚えていますが、それがなんだったのかは覚えていません。

実は、大学生になって英語を学んでいくうちにメガフェプスダなんて覚えて置かなくても、見分けられるということがわかったんです。不定詞と動名詞の役割を少しだけ深く理解すれば、すぐにどちらが来るべきなのか、どっちも来ていいのか、その時の意味はどうなるのかまでしっかり抑えることができます。

世の中には覚えておかないといけないことってあると思うんです。でもその中にメガフェプスダは入っていません。メガフェプスダと覚えるのではなくて、その場で判断できるように不定詞と動名詞の役割を確認しておきましょう!

不定詞は「まだやっていない」を表す

不定詞は「to + 動詞の原形」の形をとります。この”to”というのはもともと前置詞で「方向を示す」働きをするものでした。”to school”で「学校へ」、”to me”で「私に」、”to the future”で「未来に」という具合に。

では、不定詞でtoを使った場合「方向を示す」働きは無くなるのでしょうか?

もちろん無くなりません。例えば”to believe”と言った時にもちゃんと方向を示してあります。それはどこを指しているのか?それは未来です。もっと簡単に表現するとしたら「まだやっていないこと」に関して不定詞は使われます。

具体例として”I forgot to go to the hospital.”という文章を考えてみましょう。

この文章の動詞は”forgot”「忘れる」という”forget”の過去形ですね。その目的語として”to go to the hospital”「病院へいくこと」があるわけです。

不定詞の役割に注目して考えてみてください。「忘れた」時点において「病院へいくこと」は実行できているでしょうか?

不定詞は「まだやっていないこと」を表すので、「忘れた」と言っている時点においては「病院に行って」ないということになります。

なので”I forgot to go to the hospital.”は「私は病院に行くのを忘れた」という意味になります。

動名詞は「すでにやっている」を表す

それに対して動名詞は「すでにやっている」ことを表しています。動名詞は「動詞にingをつけた形」です。この形で真っ先に思いつくのは進行形なのではないかと思います。厳密にいうと進行形のingは現在分詞なので違うのですが、イメージを掴んでもらう分には構わないと思うので進行形で考えてみます。

“I was playing soccer.”という文章を直訳すると「私はサッカーをしている状態でした。」となります。では、この文章の動詞”was”「でした」の時点で”playing soccer”「サッカーをすること」実行していたということになりますよね。

ここが不定詞との違いです。

具体例として”I forgot going the hospital.”という文章を考えてみましょう。先ほどの文の不定詞が動名詞になっただけです。

この文章を動名詞の役割に注目して考えてみてください。「忘れた」時点において「病院へいくこと」は実行できているでしょうか?

動名詞は「すでにやっている」ことを表すので、「忘れた」と言っている時点で「病院に行って」いたということになります。

なので”I forgot going the hospital.”は「私は病院に行ったことを忘れた」という意味になります。ほぼ記憶喪失ですねw

基準となる地点をちゃんと考える

ここまでで不定詞と動名詞の使い分けはバッチリだと思いますが、このような考え方をする時にやってしまいがちなミスがあります。次の文章をみてください。

“Would you mind opening the window?”「窓を開けてもらえませんか?」

もっと直訳すると「窓が開いていることを気にしますか?」です。先ほどの話を聞いてまだ窓は開いてないから”to open”じゃないの?と思う人もいるのではないかと思います。

やってしまいがちなことですが、それは基準にする時点を間違えてしまっているのでそう思ってしまうのです。

どこを基準にするのかというと「文の動詞」の時点です。先ほどの文章でいうと”mind”の時点ということになります。”mind”「気にする」の時点で「窓が開いている」という状態は起きているのでしょうかいないのでしょうか?

「窓が開いている」から「気になっている」ので、”mind”の時点では「窓が開いている」ことはすでに起こっていることですよね。だから動名詞を使うのが正しいというわけです。

動名詞しか、不定詞しか来れないはルールではない

冒頭で紹介した”forget”はすでに起きたことを忘れることもまだ実行していないことを忘れることもできるので動名詞も不定詞も目的語としてくることができます。

一方、すでに起きていることでないと”enjoy”「楽しむ」ことはできませんから、”enjoy”の目的語は動名詞であるべきです。

反対に、まだ起きていないことに対して”try”「試す」ことをしますから、”try”の目的語は不定詞であるべきです。

mindやavoidはややこしい

そのように考えると、”mind”「気にする」や、”avoid”「避ける」などは考えにくいことに気づくと思います。

一見どちらの動詞もまだ起こっていないことにもこれから起きることに対しても使えそうな感じがします。

でも実はmindやavoidは目的語として取れるのは動名詞のみで、不定詞は取れないんです。

なぜかというと「実際は起きて欲しくないから」です。先ほど、理解を簡単にする為に不定詞は「まだやっていないこと」に関して使われると言いました。しかし、もともとの役割を思い出してください。”to”は「方向を示す」のです。先ほどは未来方向と言いましたが、気持ち的にも前向きなんです。

つまり不定詞には「まだ起きてない(けど実際には起こってほしい)」という肯定的(前向き)なニュアンスが含まれているのです。だから「実際には起こって欲しくない」ことに関しては不定詞は使わないのです。この時の動名詞には「まだ起きていないけど仮に起きたとしたら…」という仮定法的なニュアンスが加わっていると考えることができるわけです。

不定詞か動名詞かはその場で判断できる

いかがですか?メガフェプスダなんか覚えなくても、不定詞が来るのか動名詞が来るのかはその場で判断できそうじゃないですか?考え方を掴んだら後は練習あるのみで、どんどんセンスを磨いていってくださいね。

ただメガフェプスダはよく出てくる動詞をまとめたものとも言えるので、英単語をまだそんなに覚えられていない人にとっては、役に立つのかもとか最後に思ってみたりして…

2点を通る直線の簡単な求め方

2点を通る直線は、連立方程式を使って求める。

中学2年で初めて1次関数を習ったときから、ずーっとそう考えている人が多いのではないかと思います。確かに連立方程式を使うと、その場で答えがあっているかどうかの確かめができるので非常に便利です。

しかし連立方程式を使って解くやり方は、直線(1次関数)を考える上で重要な「傾き」や「切片」を意識せずともできてしまうので、非常に危険なやり方だとも思っています。

特に高校生になっても連立方程式でしか直線の式を求められないと、数Ⅱで苦労します。

1次関数の問題は直線の「傾き」や「切片」を意識しながら考えることが大事です。そこで、連立方程式を使わない、「傾き」や「切片」を意識した解き方をご紹介します。この解き方の方が10倍早く解けますし、関数のセンスも徐々に磨かれていくと思います。

練習用に2つ問題を用意しました。

\[ \begin{align} &\text{次の点を通る直線の方程式を求めよ} \\ &\ (1)\ \text{点}(-2, -5),\ \text{点}(3, 15) \\ &\ (2)\ \text{切片が}2,\ 点(3,-4) \end{align} \]

直線は傾きと切片を意識しながら解く

1次関数の一般式である $y=ax+b$ の $a$ は直線の傾きを、$b$ は切片を表しているのでしたね。

だから直線の傾きと切片がわかってしまえば、直線の式は求められるということです。たまに、連立方程式を使わないと求められないと思っている人もいますが、それは間違いです。

そしてその傾きと切片ですがそれぞれどうすれば求めることができるのかをきちんと押さえておきましょう。

  • 直線の傾きは変化の割合のことである。
  • 切片($y$切片)は$y$軸上の$y$の値、つまり$xが0$の時の$y$の値
$※変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量}$

ということを使って「まず傾きを出して、次に切片を出す」という流れを踏めばOKです。

例えば(1)であれば、まず\[ \begin{matrix} x: \\ y: \end{matrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 3 \\ 15 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} +5増加 \\ +10増加 \end{pmatrix} \]なので $\frac{yの増加量}{xの増加量}=\frac{10}{5}=2$ となり、傾きは2とわかります。

次に切片ですが、$x$が0の時の$y$の値が解ればいいので、どちらかの点から数えてあげます。

$(-2, 5)$の点から数えるならば、$x$の値を$+2$してやれば$x$が0になってくれます。じゃぁ$y$はどれだけ動けばいいのか。変化の割合が2だとわかりましたから、$x$が+2動けば、$y$は+4動きますね。なので\[ \begin{matrix} x: \\ y: \end{matrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} +2増加 \\ +4増加 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \end{pmatrix} \]

これで切片も9だとわかったので求める直線の式は$y=2x+9$だとわかりました。

ちなみに上記の一連の流れは、こんな風に書くこともできます。\[ \begin{array}{rr} & (3,&15) \\ -)&(-2,&5) \\ \hline &(5,&10) \end{array} \Rightarrow \frac{10}{5}=2 \\ \begin{array}{rr} & (-2,&5) \\ +)&(2,&4) \\ \hline &(0,&9) \end{array} \Rightarrow y=2x+9 \]

わかりやすい方の書き方で練習してくださいね。

切片がわかっているともっと楽

次に(2)ですが、これは切片が最初からわかっているので、あとは傾きを求めるだけですね。\[ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} +3増加 \\ -6増加 \end{pmatrix} \]なので $\frac{yの増加量}{xの増加量}=\frac{-6}{3}=-2$ となり、傾きは-2とわかります。

よって求める直線の式は $y=-2x+2$ です。

連立方程式は不安になった時の最終手段

冒頭でも述べたように、連立方程式は「その場で答えがその場で確認できる」という特徴を持っています。なので仮に計算ミスをしていても、確かめることができます。

2点を通る直線の式を求めるのに普段は、今回の解き方で求めて、「明らかにこれおかしいだろ」とか不安に思った時には連立方程式で確かめる。という風に1つの問題の解き方に色々な手段を持っておくことも大事だと思います。

たすきがけを爆速で解く

高校生に入ってならうたすきがけ。あれを解くのに結構時間がかかってします人が多いようです。

慣れてくれば、時間が経ちセンスが磨かれてきて「だいたいこの辺りでしょ」と1発、2発で解けてしまうようにもなりますが、なかなか最初から1発、2発でたすきがけを成功させるのは難しいです。

実はそんな時間のかかるたすきがけを、圧倒的に早く解けてしまう方法があるんです!

今回は $2x^2-7x-72$ という式の因数分解を一緒に考えながら、その方法をご紹介します。

完成させるまでの組み合わせは最大12通り

まずは、たすきがけで下の図まで確定していますね。\[ \begin{matrix} 2 & &\square & \to & \blacktriangle\\ & \times &&& + \\1 & & \vartriangle & \to & \blacksquare\\& & & & -7 \\ \end{matrix} \]

あとは$\square$が決まれば、自動で$\blacksquare$がわかるし、それと同時に$\vartriangle$も決まるので、$\blacktriangle$もわかるといった具合ですね。

では問題は$\square$に何が入るのか。

かけて-72になる掛け算の組み合わせは+\[ (-1,72),(-2,36),(-3,24),(-4,18), \\(-6,12),(-8,9)(-9,8),(-12,6), \\(-18,4),(-24,3),(-36,2),(-72,1) \]の12通りあります。

この場合はたすきの左側が決まっているのでまだ少ない方ですが、12回も試さなきゃいけないのはかなり憂鬱ですよね。

試す価値があるのは2通りだけ

12通りも試さないといけないと思うと憂鬱ですが、3パターンだけ試せばいいのであればやる気になれますよね。

じゃぁなんで3パターンだけに答えが絞れるのか説明します。\[ \begin{matrix} 2 & & \square & \to & \blacktriangle\\ & \times &&& + \\ 1 & & \vartriangle & \to & \blacksquare\\ & & & & -7 \\ \end{matrix} \]このたすきがけの答えは$(2x+\square)(x+\vartriangle)$の形になります。

$(2x+\square)$の部分に注目してください。$\square$に入る数字としてありえない種類の数があります。それはなんでしょう?

そう、2の倍数ですね。

もし$\square$に2の倍数が入るとしたら、$(2x+\square)$は$2(x+?)$という因数分解になるので、答えが\[ x^2-7x-72 = 2(x+?)(x+\vartriangle) \]となってしまいます。

左辺は2で割り切れないのに、右辺は割り切れている。

こんなのおかしいですよね?だから、$\square$とか$\vartriangle$に入る数はそのかっこの中をくくり出せない数である必要があるんです。

つまり$(3x+\lozenge)$という形なら$\lozenge$は3の倍数以外の数ですし、$(6x+\lozenge)$という形なら$\lozenge$は2の倍数でも3の倍数でも6の倍数でもない数です。

このように考えると、$\square$には2の倍数は入れないので、$\square$には$\pm1, \pm3, \pm9$の6個のうちどれかが入るということになります。

そう考えたら、$\pm1,\pm3$では相方との数の差が離れすぎて、どう頑張っても$-7$にはなりそうにないですから、$\square$に入る数字は$9$か$-9$であることがわかります。するとほぼ1発で$(9,-8)$の組み合わせが見つかって、実際試してみると\[ \begin{matrix} 2 & & 9 & \to & 9 \\ & \times &&& + \\ 1 & &  -8 & \to & -16 \\ & & & & -7 \\ \end{matrix} \]でちゃんと成功していることがわかります。

こう考えると、非常に簡単に\[ x^2-7x-72 = (2x+9)(x-8) \]と答えが出せました。

最初に共通因数でくくるのはたすきがけをする上でもとても大事

因数分解の手順として、中学生の頃に忘れがちなことが「共通因数でくくる」ということです。

上でご紹介したようなたすきがけのテクニックが使えるのも、最初の共通因数でくくるステップをしっかり踏んで、元の式を「割りきれない形」にしているからこそ使えるのです。

高校生になって、共通因数でくくるのを忘れる人はそんなにいないと思いますが、改めてこのルールって大事だなと感じると思います。

たすきがけで試す組み合わせはどんなに多くても4〜5個

上でご紹介したようなテクニックを使うと、$6x^2-42x+72$とか$8x^2+83x-156$のような一見めんどくさい因数分解も驚くほど早く答えまでたどり着けます。

ぜひ使いこなせるようになってバンバン因数分解しちゃってください!

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